自从翻译了维基上那篇BBP的文章一直想做这个用圆周率绘图的小程序。今天终于尝试了一下。可惜由于php的性能问题,没法绘出我想要的那种整幅的具有震撼效果的圆周率的外貌图。。。
目前只好用一个小小的24*24的小图先凑合着。其实BBP是个并行算法,要并行起来跑才会快的。但是php的多进程执行实在有点麻烦。所以准备以后有机会再来进一步做下去了。
Month: December 2011
[感动]命运石之门
看了这个片子咱整个人都中二了。。
中二拯救世界的神作orz|||
咱貌似也泪点无限降低了。。这片子咱看到第三周目的时候,还没看完OP就已经内牛满面了|||
数十亿もの 鼓动の数さえ 数十亿的 心灵跳动 あなたには 瞬き程度の些事な等级 对你而言 不过是眨眼工夫的琐事 过去に囚われて 未来を叹くも 无论对过去的执迷 还是对未来的叹息 尘一つ 误算を许さぬ必然 皆是不准有丝毫误算的必然 『无限』に広がる梦も 描く未来も だからいま 1秒ごとに 世界线を越えて |
命の主张と 无意味な证明 生命的论点 与无意义的证明 あなたには 退屈しのぎに足らぬ滑稽 对你而言是 就连消遣也不足以的滑稽 支配者きどりの 愚かな种族は 自称支配者 愚蠢的种族 うぬぼれた 稚拙な定理を并べた 自大地陈列 幼稚的定理 『无限』と信じた爱も 空の彼方も いくつもの 辉ける日々 仲间との约束 |
だからいま 1秒ごとに 世界线を越えて 所以现在 越过每一秒的世界线 君のその笑颜 守りたいのさ 只因想要守护你的笑容 そしてまた 悲しみの无い 时间のループへと 于是又再堕入没有悲伤的时间回流 饮み込まれてゆく 逐渐被吞噬 孤独の観测者 孤独的观测者 |
人类智慧形态研究
上一篇讨论集合论的博客,我说会提出几个问题来支撑自己继续探索下去。而在归纳总结了自己的几个问题之后发现,多数问题是指向人类智慧形式本身的。
我在那篇博客中说,我认为集合论是一个企图解释全宇宙的终极理论。现在我改变了自己的想法。正好相反,集合论其实并非是解释宇宙的理论。解释宇宙这件事情,需要经验科学来完成。集合论其实是解释人类逻辑思维方式的终极理论。为什么我之前会认为,集合论有能力解释全宇宙呢?其实是这样的,首先,我假设人类有能力提出解释宇宙的理论,然后,集合论能够解释提出这个理论的人类的智慧的形式,并且能够构造出这种人类智慧形式所包含的全部知识。假如前提假设是正确的,人类确实能提出解释宇宙的理论,那么集合论自然能够涵盖这个理论啦。
因此这里提出的问题一就是,人类是否能提出解释整个宇宙的终极理论?
根据哥德尔不完备定理,任何图灵等价的构造都是不完备的,任何由可数无穷多个公理构造的定理集合都是不完备的。因此,假如说,人类智慧的形式其实是图灵等价的话,或者说,人类智慧所可能构造出的知识内容如果是可数无穷集合的话,那么,人类的理论体系很有可能是永远都无法完备的。但是,我相信,我们的宇宙应该是自洽的,因为“存在即合理”应该是凌驾于任何先验知识之上的经验公理。假如真的是这样,那么人类很有可能永远无法参透宇宙的奥秘。当然,其实这也是一个好消息。上帝、灵魂、地狱等等概念都有他们容身的场所,可以供那些“开天眼”,智慧超越人类可悲的知识集合的神棍们观测和研学。
所以这个问题其实归结为,人类智慧是否真的是图灵等价的?如果说是这样的话,马上就能得出一个结论,那就是人工智能一定能够成功。因为现代计算机就是图灵等价的。如果说人类智慧是图灵可计算的,则,只要随着科学的发展,早晚有一天能够用计算机创造出不可思议的智慧生命出来。硅基地球文明早晚将会诞生。
到目前为止,我倾向于认为,至少,我希望,上述两个问题的答案都是否定的。我认为人类智慧形式应该是超越图灵机的,并且,至少我希望,人类智慧能够无限逼近自然真理。同时,我不愿相信仅靠机械计算就能创造生命,无论那种计算模型有多么复杂,最终无非是确定有限自动机。
好了接下来我想问的是一个比较弱智的问题。就是,对于确定有限自动机而言,每个输入都有一个唯一的确切的输出。这样的构造是图灵等价的。假如,假如我给这个机械的模型加上随机参数呢?不是伪随机数,而是真正的随机数。举例而言,利用量子计算机的技术,对一个输入,有一定的概率产生一个输出,还有一定概率产生另一个输出。假如说自动机设计成这个样子,他还是图灵等价的吗?我在这方面没有做过研究,仅仅是初步想到他,所以不敢乱讲。我准备接下来查一些论文,看看有没有人做这方面的研究。
我看过一个量子算法,就是利用量子能够产生“真正的随机数”这个特性,来实现傅立叶变换,把时间复杂度降低了一个数量级。即使量子计算机的物理实现非常困难,其数学模型完全可以提前建立。因为利用到量子的地方,仅仅是他的产生随机数的能力罢了。我也知道在这个领域已经有前人研究了很多年了。我不清楚,是否量子计算机,仅仅给计算模型添加了真随机的能力,就能解决掉P = NP的问题。如果说真的是这样,这个世界未来的样貌将会是大大改观的。有可能,甚至要突破贝尔定律,知识爆炸的速度或许会以比指数还要快的速度疯狂增长。那个时候的人类智慧跟现在还会是同构的吗?或许还是。或许,人脑的计算模型就是如同量子计算机般充满了随机性的。这非常符合我们的经验。一个人刚做的决定,立刻就会后悔。同样的人有状态好坏之分,今天做得出的题目,明天就抓破头皮也解不出来。明明熟悉的老同学,嚼烂了舌头也想不起他的名字。这样的事情是很多的。是不是这就是因为,人脑其实充分利用了随机性呢?会不会说,带有随机性的自动机,比“确定有限”自动机所能表达的逻辑要复杂更多,是超越图灵计算能力的呢?
因为在这方面没有做过研究,所以不敢乱讲。这也是我接下来继续学习领悟集合论的一个重要的推动力。
另外我还有一个问题。就是,根据我的初步理解,似乎无论在自然数集合上做什么样的计算,都不可能构造出实数集合。无论是加也好,乘也好,乘方也好,自然数集合再怎么倒腾,到底还是可数无穷集合。所以我忽然觉得很奇怪的就是,实数,是不是真的实实在在存在的数呢?虽然说从古希腊就有人证明了存在根号2这样的数。可是这样的数毕竟是人脑构造出来的数。自然界中是否真的存在呢?
因为,实数集如果真实存在的话,哪怕仅仅是其中的一小段,例如[0, 1)的这样一个区间存在的话(这小小的一个区间其实等价于整个实数集),它包含的信息量都超过了全宇宙能量的总和。当然这是建立在,宇宙的大小和生命都是有限的这个假设之下的。我非常喜欢宇宙有限这个理论。在这样的假设下建立的宇宙模型简单而且容易解释。有着无限时间的宇宙,应该早就,在无穷早之前,就进入热寂了(熵不停增大直到极值的状态),有着无限能量的宇宙,也理应在无穷大的引力下崩塌;地球(如果存在)理应被从四面八方射来的无穷的星光灼烧成渣。
那么,如果宇宙蕴含的能量是有限的话,他蕴含的信息量是不是就一定也是有限的呢。或者至少是可数无穷多的呢。一个有限能量构成的基本粒子,假设他其实并不是“基本”的,而是其实蕴含着更大的信息量。假设他还是可以继续再分的。据我了解,物理学当前认为的最小粒子是夸克,并且据我所知夸克还没有被制造出能够独立存在的。我们暂且假设他还可以再再分,例如说,我们用半个宇宙的能量去轰击他,让他产生不可思议的巨大爆炸,也许在这持久的爆炸中,夸克乃至更小的粒子就能独立存在一段时间。我们继续用更大的能量去轰击他,用99%的宇宙能量,会怎么样呢?最终,我们用除了这个粒子之外的全部宇宙所含的能量去轰击他。没有更大的能量了。因为能够轰击一个粒子的能量最终是有限的,所以粒子可分的等级,应该就是有限的。更小的等级,在当前宇宙是观测不到的。我个人还是倾向于经验主义,观测不到的物理量应该就是不存在的。至少他对当前宇宙没有任何贡献,因此存在与否是没有意义的。同时,全宇宙所有粒子的总和一定是一个有限值。那么由有限个粒子构成的集合,其中每个粒子都是一个在有限步骤内就会定义完毕的有限集合。他们在每个时间点上都具有有限的信息量。因此最后,就差一个量可以决定宇宙信息量的基数,那就是时间。假如时间是量子化的,存在不可再分的最小时间间隔,那么这个宇宙的总信息量就是可数无穷多的。假如时间是连续的,总能找到两个时间点之间的时间点。那么,宇宙就是连续变化的,它虽然在每个特定的时间点无法包含无穷的信息量,但只要乘以时间这个维度,就立即包含了无穷的信息量了。
为什么上述讨论中只用到时间这一个量,而不说四维时空呢?在我看来这里时间和空间是等价的。假如时间固定,每个粒子在空间中的位置(三维坐标)都是固定的。当然,存在很多“实数”坐标值。但这些实数的数量却是有限多的(因为粒子的数量是有限多的),因此,这些实数的坐标值其实是可以跟一个有限集合内的元素一一对应的,只是他的物理含义不相同而已。只有当时间可以连续运转的时候,才有可能让一个运动着的粒子沿着一段曲线运动,从而产生出与实数集基数相等的那么多个三维坐标点。
因此,空间的连续性和时间的连续性其实就是等价的。假如说,虽然时间是连续的,但是空间却是量子化的,在每一段连续的时间点上,一个粒子都呆在原地不动,直到另一个时间段,他忽然“跃迁”到下一个空间坐标上去了。假如是这样的,假设存在连续的时间就没有意义了。因为你没有办法观测到他。在一次的,我用奥坎姆剃刀剔除不可观测的额外假设。
因为对当今的物理学发展并不十分了解,我不知道是否证实了时间的连续性。因此这里作为一个问题放在这里吧。
这个问题其实是深深刺入宇宙本源的。因为,假如时空真的如我上述讨论,是量子化的,则宇宙其实就是一个自动机!那么很有可能,他就是图灵等价的!如果真的是那样,那么宿命论就是真的。当然,这里还有一个悬而未决的问题,就是量子计算机能否让计算机突破图灵可计算的边界。但是,进一步的,假如时间是量子化的,但是真随机有限自动机超越图灵,至少我们可以制造真随机有限自动机来模拟宇宙。同时,真随机有限自动机将成为真正的人工智能!因为,宇宙是真随机有限自动机等价,所以宇宙能够创造出来的生命,量子计算机就理应能够(在有限时间内)将生命(不仅仅是人工智能,而且他还是货真价实的生命体)创造出来。
哇,看来集合论果然是必须要学的重要学科啊!!很有可能他就包含了宇宙的真理哟!
集合论研学初心
最近在网上看了几位大牛的博客,对集合论逐渐产生兴趣。进而去维基上翻了翻,对集合论有了个初步的了解。这里做点笔记。
集合论是一个目标统一全宇宙的超级理论。当然也有可能他统一不了了,但透过集合论,去理解人类逻辑的固有定式,去理解数学如何解释世界,是很有意思的事情。
朴素集合论是很容易理解的事情。首先有元素这个概念。然后元素可以属于集合。两个集合相等完全由其元素一一相等来判定(外延公理)。然后集合的元素也可以是集合,集合可以为空(空集公理)。
这就是高中课本上的集合定义了吧。但这样的定义存在巨大的问题。
例如著名的罗素悖论:设存在集合R, 它包含的元素由对“所有集合”应用的一个函数(谓词)来确定,即“不包含自身的集合”(固有前提,该元素是一个集合)。这个谓词是合理的,因为在”所有集合”这个范围内确实存在不包含自身的集合。那么,将所有这样的集合作为元素,放到这个集合R里,理论上似乎可行。那么我们看这样的集合R有什么特性呢? 他或许不包含自身(R不属于R),如果是这样,那么他就应该包含R(因为R是所有不包含自己的集合嘛)。但是如果他包含了自己,他立刻就不应该包含自己了(包含自己的集合不应该属于R)。
为了阻止这种情况发生,严谨的集合论不得不增加一些公理和概念来回避这个问题。首先,使用一个谓词确定的集合不再确保构成一个集合。他们只是属于一类(内涵公理,替代公理)。因此“类”这个概念比集合更广泛。如果一个类不是一个集合(例如“不包含自身的所有集合”),那么他就是一个“真类”。
另外,在一个集合上使用一个谓词仍然可以得到所有符合这个谓词的元素的集合。这称之为分类公理。
之后引入“正则性公理”来确保集合的合理性。这个公理描述起来有点费力。首先,公理化集合论一般认为所有集合都是集合的集合,不存在集合之外的概念。集合的元素也是集合(有可能是空集,所以这个定义是可以终止的)。然后正则性公理是说,任意非空集合,总存在一个元素,这个元素(同时也是集合)与这个集合的交集为空。这样理解很困难,我们反过来理解。任意非空集合,不可能发生这种情况:他的所有元素都与其相交。这仍然很难想象,我们举个例子来观察这样的集合的特性。
假设R符合这个条件,假设他包含一个元素。则 R = {A}
这里A和R相交非空,则A交R = B
B是A和R的交集,则B是R的子集。同时B非空。则B只能是{A}。也就是说,B = R。
所以A交R = B。A = {A, …}
而R = {A}, 所以R = {{A, …}} = {{{A, …}, …}} = {{{{A, …}, …}, …}}
这样的A是无穷递归定义的。或者说,在有限时间内无法写出R的定义。这和无穷集合并不相同。无穷集合只是在有限时间内无法写出这个集合中的元素而已。如果一个集合无法被定义,我们应该认为他就是不存在的吧。
R包含更多元素的情况比较复杂,不过归结到最后都是如这样形式的无穷递归。可以说这个公理防止了这样的不良定义的集合出现。所以“禁止自包含”就是正则公理的内涵之一。
以上几个公理定义了集合的内涵和外延,以及一个操作(分类)。接下来还需定义集合的并(并集公理)这个操作。这个操作的定义与朴素集合论中的定义略有不同。
这个定义的形式描述有点绕,这里形象的说明就是:一个形如R = {{A},{B},{C}, …}的集合,他的并U R = {A, B, C, …}。
所以,{A, B, C}U{D} = U{{A, B, C},{D}} = {A, B, C, D}
相信读到这里很多lisp玩家已经感到似曾相识了。确实函数式语言、图灵机等等计算机科学基本概念都可以说是自集合论派生出来。这也是我会忽然跳这个大坑的原因。
定义了并之后,集合操作基本定义完全。至于说交集这个定义呢,因为存在分类公理,交集其实是分类公理使用“属于某个集合”这个谓词的一种特化形式。因此无需使用公理定义出来。
还有几个公理,我这里配合描述集合论构造自然数的定义来描述。因为这一段似乎是集合论中最容易懂的一部分了
这里直接给出定义的形式,他比描述还容易懂。之后根据这个形式中出现的几个特征,引出几个定义。
0 = {} (空集)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }
由于自然数是无穷的,必须使用归纳法定义全体自然数。前面集合的并集的定义是一个铺垫:
首先 0 = {} 是自然数。
然后 假设x是自然数,则x的下一个自然数x’ = x U {x}
由是自然推出了元素的“后继”这个概念。x’是x的后继,则x’ = x U {x}。并依据后继这个概念定义归纳法(无穷公理):
存在集合A,首先,空集属于A,并且对于任意的元素x属于A,则x的后继x’ = x U {x}也属于A。
这不破坏正则公理,因为空集属于A。因此A中存在一个元素,{},他与A的交集是空。
这并不是文字游戏。要求空集包含于A是非常重要的。这相当于是数学归纳法中的初始条件。否则归纳法无法成立。
此外还引出了集合中元素的顺序问题。称x’是x的后继,就是说,x和x’之间存在顺序关系。并且这个顺序关系可以传导。也就是说,x1是x0的后继,x2是x1的后继,则x0和x2也存在x0在前, x2在后这样的关系。 通过这个关系,可以得出集合的序的概念。
首先定义良序集合。所谓良序集合,通俗地说,需要符合两个条件。其一,首先给定一个判定关系的运算符,任意举出这个集合中的两个元素,在这个运算符上能够判定顺序关系(因此这是一个线性的顺序关系,每个元素如果有,都仅有一个后继和一个前驱);其二,任意给定这个集合的子集,能够找出该子集的最小元素(无需保证最大元素)。符合这个条件的集合和这个关系一起就称作良序集。因此自然数在<=这个关系上是良序的。但是整数在<=这个关系上就不是良序。因为不存在这个集合的最小元素。但是如果用其他的顺序关系运算,仍然可以给出一个良序的整数集。例如0, -1, -2, ..., 1, 2, ... 这个顺序,0最小,然后负数比整数小,然后绝对值小的数更小,则得到一个良序集。为何一定要确保最小值,其实就是为了使归纳法成立。后续的大量论证将会建立在良序集的归纳法之上(超限归纳法)。
好了,对于良序集,既然后继是唯一确定的,就可以不停地向后列举下一个后继。如果这个集合是有限集,则最后一个后继的序号(序数)就是一个自然数。如果是可数无穷集合,则这个最大的序数无法在有限时间内获取到。我们设这个数为ω (自然数的序数)。仍然存在序数比ω还大的可数无限集合。例如整数,假如按照上述排序方式,则其序数相当于是ω+ω。又比如,自然数如果采取另一种排序方式0, 3, 6, 9, …, 1, 4, 7, …, 2, 5, 8, …则自然数的序数是ω+ω+ω。我们看到,序作为衡量集合大小的指标有一个不足,就是序是由一个人为确定的关系运算符来确定的。关系不同,就有可能改变序大小。因此还需要更通用的,仅与集合本身相关的指标来衡量集合的大小。
接下来应该引入基数的概念。但由于这一块我还没有完全理解,所以暂且写到这里了。
后续会写一篇文章记录读到目前为止我的各种疑问。作为思考题,推动自己接下来继续去学习~
引用:
维基百科:公理化集合论
刘未鹏:永恒的金色对角线
Matrix67:对角线方法之后的故事
简朴节约编程
我听说,代码行数越少,出错概率越小。
如果不管什么逻辑都只写成一行代码的话,岂不是只有一行代码的维护成本了!
所以。泛用逗号表达式吧!泛用:?吧!泛用参数求值吧!
至于命名规范,越减省越好。善用26个字母+大小写,基本够了。配合大括号屏蔽和::引用,绝对够用~
实在不行就后排序号嘛。再不够用,把变量全存储在一个数组里,直接下标引用。注意类型转换哟,数组里第一个变量是int,第二个变量也许就是字符串了。
这样存数据,连复杂类型都省了。管他啥东西还不都是字节啊。直接紧排在内存里,还省空间,连内存对齐的问题都不必考虑了。
更不用提动态内存管理了。所有数据全堆在静态数组里。想要空间自取就好。
这样一个工程在一个文件里写完就可以了。头文件都省了。更不用说压缩软件了,源码文本打开就是满满的各种字母符号,信息量满满,没有压缩空间哈哈。
什么?你说这代码不好维护?
这样的代码还需要维护么。。。出了bug重写一份就好了嘛!